PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função exponencial crescente.
Função exponencial decrescente.
A função exponencial de base a, f(x)=ax, tem as seguintes propriedades:
1. f(x)>0 para todo xϵR;
2. f(x) é função crescente se, e somente se, a>1;
3. f(x) é função decrescente se, e somente se, 0<a<1;
4. f(x) é invectiva;
5. f(x) é ilimitada superiormente;
6. f(x) é contínua;
7. f(x) é sobrejectiva;
8. f(x) é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada loga(x)
CRESCIMENTO EXPONENCIAL
Crescimento Exponencial ou Geométrico é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função, e sim da interacção entre uma constante de crescimento e uma variável x, podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits, etc; sendo assim proporcional ao valor actual da função.
Ocorre da mesma forma que Decaimento exponencial ou Geométrico, porém, no decaimento, há um decrescimento do valor de Y.
FÓRMULA GERAL/BÁSICA
Uma quantidade y depende exponencialmente do tempo x em:
Y=x0.ax+b+c
"Movendo-se" graficamente na direcção do eixo das ordenadas com variação em b, e no eixo das abcissas com variação em c.
Para ser considerado Crescimento Exponencial, a deve possuir valor maior do que 1, caso contrário será considerado Decaimento Exponencial.
Note que o ponto de cruzamento com o eixo y se dá em (0,X0+a), visto que, igualando X a 0, a equação geral transmite que y = x0+c
A quantidade x depende exponencialmente do tempo t se x(t)=a.bt/r
onde a constante a é o valor inicial de x, a constante b é um factor de crescimento positivo, e τ é a constante de tempo necessária para x aumentar em um factor de b:
Se τ > 0 e b > 1, então x cresce exponencialmente. Se τ < 0 e b > 1, ou τ > 0 e 0 < b < 1, então x expressa decaimento exponencial.
FUNÇÃO DE CRESCIMENTO LOGÍSTICO
FUNÇÃO LOGÍSTICA SIGMOIDE PADRÃO
Uma função logística ou uma curva logística é um formato de “S” comum (curva sigmoide), com equação:
Onde e = a base dos logaritmos naturais (também conhecido como número de Euler)
x0 = o valor de x no ponto médio da curva sigmoide
L = o valor máximo da curva, e
k = a declividade da curva.
Para valores de x no domínio dos números reais de −∞ a +∞, a curva sigmoide à direita é obtida (com o gráfico de f se aproximando à L conforme o x se aproxima de +∞ e se aproximando à zero conforme o x se aproxima de −∞).
A função foi nomeada em 1844–1845 por Pierre François Verhulst, que estudou isso relacionando ao crescimento populacional. O estágio inicial de crescimento é aproximadamente exponencial; então, conforme a saturação se inicia, o crescimento diminui, e na maturidade, o crescimento para.
A função logística tem aplicações em grande diversidade de áreas, incluindo rede neural artificial,biologia (especialmente ecologia), biomatemática, química,demografia,economia, geociências, psicologia matemática, probabilidade, sociologia, ciências políticas e estatísticas
MODELO DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL
Existem basicamente dois grandes modelos de crescimento populacional que foram criados com base em diversos estudos de naturalistas e matemáticos alguns séculos atrás. Eles vão nos ajudam a compreender o processo de crescimento populacional das espécies que vivem na natureza.
Cabe lembrar aqui que eles não reflectem de fato o que realmente ocorre na natureza, mas são ferramentas que os biólogos e ecólogos utilizam para prever alguns fenômenos naturais que muitas vezes não podem ser compreendidos com estudos em campo. Os ecólogos muitas vezes são forçados a realizarem previsões acerca das relações ecológicas. A matemática aplicada nestas questões é fundamental para o entendimento das mais diversas relações possíveis no mundo natural.
Modelo de Malthus Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos é do economista inglês Thomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupõe que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional á população total do país naquele instante. Matematicamente, se P (t) é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é: dP dt = kP, onde k é uma constante de proporcionalidade (nesse caso k > 0). Esse modelo é utilizado no crescimento de pequenas populações em um curto intervalo de tempo, como por exemplo crescimento de bactérias, pois não leva em conta muitos factores que podem influenciar a população tanto em seu crescimento quanto em seu declínio. Sabendo-se que uma certa população cresce segundo o modelo malthusiano é P(0) = P0, então: P = P0e kt . O modelo discreto de Malthus é dado por P(t+1)−P(t) = αP(t). Se P(0) = P0 temos P(t) = (1 + α) tP0.
Modelo de Verhulst foi um matemático belga que introduziu a equação de crescimento logístico onde a população cresce até um limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar. O modelo de Verhulst é essencialmente, o modelo de Malthus modificado dP dt = rP (1 − P P∞ ) P(0) = P0, r > 0, (0.0.1) onde a população tende a sua capacidade máxima P −→ P∞, quando t −→ ∞. Resolvendo a equação (0.0.1) pelo Método de Separação de Variáveis temos: P(t) = P0P∞ (P∞ − P0)e−rt + P0 . 1
CRESCIMENTO EXPONENCIAL O crescimento exponencial compreende o crescimento populacional onde os indivíduos de uma dada espécie não encontram desafios para sobreviver, apresentando aumento contínuo nas suas taxas individuais de fecundidade, sobrevivência e crescimento. Ou seja, eles crescem e ocupam determinada área de forma rápida e sem interferências de competidores interespecíficos (de outras espécies) e parecem nem competir ou competem muito pouco de forma intra-específica (entre eles mesmos).
Esta característica é muito observada em espécies r estrategistas (espécies que investem muito na reprodução e pouco no crescimento) sendo fracas competidoras mas excelente colonizadoras, ocupando áreas disponíveis de forma rápida!
O crescimento exponencial é caracterizado também como diversas gerações contínuas e sobrepostas.
CRESCIMENTO LOGÍSTICO O modelo de crescimento logístico é mais complexo um pouco, porém, ainda assim ele é considerado apenas um modelo que nos ajuda a prever os fenómenos naturais. Ele é actualmente o que mais reflecte o que ocorre com as espécies no ambiente natural porque ele considera a competição intra-específica.
Na equação do modelo de crescimento logístico temos a adição de um novo termo, que complementa a equação do crescimento exponencial, é a capacidade suporte, representada pela letra (k) na ecologia.
CONCLUSÃO
Findo o estudo sobre funções exponenciais, o crescimento, decrescimento exponencial bem como as funções de crescimento e modelos exponenciais conclui-se que as funções exponenciais são um tema de extrema importância não apenas na matemática mas também mas também noutras ciências, tal como na física, química, engenharia, astronomia, economia, biologia, psicologia, entre outras ciências bem como para a sociedade sempre que aplicar-se.
BIBLIOGRAFIA
Manuais informativos de matemática;
Fichas informativas;
https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_exponencia;
http://educacao.globo.com.
www.aulasdemoz.com
Aulas de Moz
aulasdemoz
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