Principais direcções dos transportes do mundo

Introdução
Nos estudos da matemática as Funções descrevem a relação entre dois conjuntos de números através de uma lei de formação. Há uma relação entre os dois conjuntos de números, e um deles está ‘em função’ do outro. A função linear é um caso particular de função afim que apresenta a lei de formação do tipo f(x) = ax, em que a é real e diferente de zero. Por outro lado, chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a  0. Portanto, neste trabalho, irá falar-se da função quadrática e linear.

Funções Reais de Variável Real

Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por: f : R   R

As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).

Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão: f : A   R sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

Representação Gráfica de uma Função

Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para representar funções.

Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.

Operações com Funções

1. Produto de uma função por um número real

(kf )(x) = k * f(x)

O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de x corresponde k vezes o valor de f.

     Exemplo:

f : R -  R

f(x) = 3x + 2

5f : R -  R

(5f)(x) = 5 * f(x) =

= 5 * (3x + 2) = 15x + 10

2. Soma de funções

Temos f(x) = 2x + 2 e g(x) = - x - 1. Se somarmos membro a membro obtemos:

f(x) + g(x) = (2x + 2) + (-x - 1) = 2x - x +2 -1 = x + 1

(f + g) (x) = x + 1

Vamos verificar o que obtivemos:

f(1) = 2 * 1 + 2 = 4

g(1) = - (1) - 1 = -1 - 1 = -2

f(1) + g(1) = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2

(f + g) (1) = (1) + 1 = 2

Vemos que, para cada objecto x, somando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f + g) (x).

Então, em geral, podemos escrever:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

3. Produto de funções

Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será:

(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x

(f * g) (x) = -x2 + 2x

Verificamos que:

f(1) = 1

g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1

f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1

(f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1

Vemos que, de forma análoga ao que ocorre com a soma de duas funções, para cada objecto x, multiplicando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f * g) (x).

Em geral, escrevemos:

(f * g) (x) = f(x) * g(x)

4. Composição de funções

A composição de uma função f com outra função g é uma nova função, representada por g º f, definida por:

(g ° f) (x) = g [f(x)]

Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 eg(x) = x2 , temos (g ° f) (x) = g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)².

Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x² + 1.

Função Linear

Uma função do 1° grau ou função afim é definida pela lei de formação f(x) = a.x + b, na qual a e b são reais e a ≠ 0. Mas entre a vasta gama de funções do 1° grau, existe um tipo particular de grande importância: a função linear.

A função linear é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de formação é do tipo f(x) = a.x, com a real e diferente dezero. Observe que toda função que não possui valor para o coeficiente b é classificada como função linear e, por consequência, é também uma função afim.

A função linear apresenta as seguintes características:

• a e b são números reais

• a é diferente de zero (a ≠ 0)

• b é igual a zero (b = 0)

Uma vez que b = 0, a forma da função linear é simplificada para f(x) = a.x.

Gráficos de função linear

O gráfico da função linear é representado em reta, sendo que o coeficiente linear é aquele que corta o eixo y do plano cartesiano.

Na forma matemática f(x) = a.x + b:

a = coeficiente angular (eixo x)

b = coeficiente linear (eixo y)

Gráfico da função f(x) = 2x

Exemplo 1: f(x) = 2x

Essa é uma função linear que pode ser classificada como crescente, uma vez que a = 2 > 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir:

Gráfico da função f(x) = – x/2

Exemplo 2: f(x) = – x

                                2

Essa é uma função linear decrescente, pois a = – ½ < 0. Observe seu gráfico na figura a seguir: 

Gráfico da função f(x) = 3x

Exemplo 3: f(x) = 3x

Essa é uma função linear classificada como crescente, já que a = 3 > 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir:

Gráfico da função f(x) = – x

Exemplo 4: f(x) = – x

Essa é uma função linear decrescente. Ela é assim classificada porque a = – 1 < 0. Veja seu gráfico:

Observe que em todos os exemplos anteriores os gráficos apresentam algo em comum. Esta é uma característica muito importante do gráfico da função linear: a reta sempre intercepta os eixos x e y na origem das coordenadas (0,0).

Gráfico da função identidade - f(x) = x

Exemplo 5: f(x) = x

Temos aqui uma função linear crescente, pois a = 1 > 0. Mas além de ser uma função linear f(x) = x, é também uma função identidade — que é do tipo f(x) = a.x, com a = 1. Veja a seguir como é o gráfico da função identidade:

O coeficiente linear é positivo quando a reta cruza o eixo y na parte positiva. O coeficiente linear, por sua vez, é negativo quando a reta cruza o eixo y na parte negativa.

O gráfico da função quadrática

Entre as equações quadráticas a mais simples é f(x) = x2. O seu gráfico servirá como base para construirmos os gráficos de outras equações quadráticas.

Inicialmente, apresenta-se uma simetria. Temos:

f(-2) = f(2) = 4

f(-1) = f(1) = 1

De um modo geral,

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

isto é, para todo x temos

f(-x) = f(x)

Função par Quando uma função f satisfaz, para todo x do seu domínio, a propriedade f(-x) = f(x) ela se chama função par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo-y.

Vamos construir uma tabela com pares ordenados que são as coordenadas de pontos do gráfico da equação y = x2. Quando marcamos esses pontos em um sistema de coordenadas e os unimos em uma curva contínua, obtemos o gráfico da função f(x) = x2.

x	y = x2	(x; y)
-3	9	(-3; 9)
-2	4	(-2; 4)
-1	1	(-1; 1)
0	0	(0; 0)
1	1	(1; 1)
2	4	(2; 4)
3	9	(3; 9)

Observação:
Podemos ter uma maior precisão no gráfico marcando mais pontos. Como não podemos marcar uma infinidade de pontos, admitimos uma certa dose de confiança de que o gráfico é aquele que desenhamos.
A curva obtida se chama parábola e toda equação quadrática y = a x2 + b x + c tem uma parábola como gráfico. O domínio da função é o conjunto dos números reais e seu conjunto imagem depende dos valores de a, b e c. Para a função f(x) = x2 o conjunto imagem é constituído por todos y   0.
Uma propriedade importante dessa parábola é que ela é simétrica em relação a uma reta vertical que se chama eixo de simetria. O gráfico da equação y = x2 é simétrico em relação ao eixo-y. Essa simetria deve-se ao fato de que f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) e que, portanto, a função é par.
A parábola tem um ponto de retorno, que se chama vértice. O vértice é a intersecção da parábola com o eixo de simetria.
No gráfico da equação y = x2 o vértice tem coordenadas (0; 0) e o valor mínimo da função é 0.
Note que, avançando da esquerda para a direita, a curva "desce" até a origem e depois "sobe". Dizemos que f é decrescente e que f é crescente.

f(x) = x2 é decrescente para x    0 Se x1 < x2, então f(x1) > f(x2)

f(x) = x2 é crescente para x  0 Se x1 < x2 , então f(x1) < f (x2)

Função Logarítmica

Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x

f(x) = log3x

f(x) = log1/2x

f(x) = log10x

f(x) = log1/3x

f(x) = log4x

f(x) = log2(x – 1)

f(x) = log0,5x 

Determinando o domínio da função logarítmica

Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4

2) x – 2 > 0 → x > 2

3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}

Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

? a > 1

? 0 < a < 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função decrescente

Características do gráfico da função logarítmica y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.

Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial.

Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.

Caso a função for multiplicada por uma constante b da forma, produzirá uma alongamento na função se b>1 ou se 0<b<1 a função será comprimida.

Caso b for uma valor negativo ocorrerá um espelhamento em relação ao eixo x, respeitando as mesmas regras dos valores positivos, ou seja, a função será alongada seb<-1 e comprimida se -1<b<0. 

A função na sua forma básica   intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0). Caso somarmos uma constante c no logaritmando, esta produzirá um deslocamento horizontal no gráfico.

Se c for positivo o gráfico será deslocado para esquerda e se for negativo será deslocado para a direita.

Exemplo 1:

A figura 1 abaixo sugere que se b > 0 e  b  1, então o gráfico de y =   satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =    tem uma inversa.

Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x =   para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a 

   =  ( )

Porém, se pensarmos  ( )  como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir  , então fica evidente que  ( ). Assim, pode ser reescrito como

y =  

de onde concluímos que a inversa de f (x) =   é  (x) =   x. Isto implica que ográfico de x =   e o de y =    são reflexões um do outro, em relação relação à reta y = x. 

Conclusão

Terminado o trabalho, pôde concluir-se que na Matemática, o conceito de função diz respeito à dependência entre duas grandezas variáveis. Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função. Todo gráfico de uma função do 1° grau é uma reta.

No que tange às funções quadráticas, constatou-se que o gráfico de uma função quadrática pode ou não intersectar o eixo OX, ou seja, uma função quadrática pode ter ou não zeros. É ainda importante referir que para determinar o contradomínio de uma função quadrática determinam-se as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função.

Bibliografia

• Lima, E.L.; et al. (2006). A matemática do ensino médio - vol. 1. [S.l.]: SBM 

• Iezzi, G.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2 10 ed. [S.l.]: Atual.

• Stewart, James (2013). Cálculo - vol. 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. 

• Anton, H.; et al. (2014). Cálculo - Volume I 10 ed. [S.l.]: Bookman

• www.escolademoz.blogspot.com 

www.aulasdemoz.com

Aulas de Moz

aulasdemoz